题目

题型：泉州模拟难度：来源：

计算机内部都以二进制字符表示信息．若u=（a₁，a₂，…，a_n），其中a_i=0或1（i=1，2，…，n），则称u是长度为n的字节；设u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），用d（u，v）表示满足a_i≠b_i（i=1，2，…，n）的i的个数．如u=（0，0，0，1），v=（1，0，0，1），则d（u，v）=1．现给出以下三个命题：
①若u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），则0≤d（u，v）≤n；
②对于给定的长度为n的字节u，满足d（u，v）=n-1的长度为n的字节v共有n-1个；
③对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．
则其中真命题的序号是（　　）

A．①

B．①②

C．①③

D．②③

答案

①我们知道：u=（a₁，a₂，…，a_n）与v=（b₁，b₂，…，b_n）中，a_i与b_i（1≤i≤n）可都不相同，亦可都相同，
故0≤d（u，v）≤n，因此①正确；
②设若u=（a₁，a₂，…，a_n），其中a_i=0或1（i=1，2，…，n），令v=（b₁，b₂，…，b_n），其中b_i=0或1（i=1，2，…，n），
我们知道：当|a_i-b_i|=0时，表示 a_i与b_i相同；而当|a_i-b_i|=1时，表示 a_i与b_i不相同．
已知v满足d（u，v）=n-1，表示|a_i-b_i|=1中的i的个数为n-1，而|a_i-b_i|=0中i的个数为1，
故适合条件的v的个数为n，因此②不正确．
③设u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），w=（c₁，c₂，…，c_n），
d（u，v）=h，d（w，u）=k，d（w，v）=m．
由d（w，u）=k表示|a_i-c_i|=1中i的个数为k；由d（w，v）=m表示|b_i-c_i|=1中i的个数为m；
由d（u，v）=h表示|a_i-b_i|=1中i的个数为h．
设t是使|a_i-c_i|=|b_i-c_i|=0成立的i的个数，可验证无论c_i=0，还是c_i=1，
则都有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|=0，
∴h=k+m-2t，∴h≤k+m．
因此对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．所以③正确．
故选C．