题目

题型：不详难度：来源：

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（-1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若an+1=

2an

1+ a 2n

(n∈N*)，且a_n∈（-1，0）∪（0，1），则数列{f（a_n）}为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是______．

答案

①由对任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)恒成立．
取x=y=0，则f(0)-f(0)=f(

0-0

1-0

)=f(0)，所以f（0）=0，所以①正确；
②取x=0，y=x，则f(0)-f(x)=f(

0-x

1-0•x

)=f(-x)，即f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以②正确；
③设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以

x-y

1-xy

＜0，
又

x-y

1-xy

+1=

x-y+1-xy

1-xy

=

(1-y)(1+x)

1-xy

＞0，
所以-1＜

x-y

1-xy

＜0，
若f(

x-y

1-xy

)＞0，则f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数，
所以③不正确；
④由f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)=f（a_n+1），所以f（a_n+1）=2f（a_n），
又a_n∈（-1，0）∪（0，1），所以f（a_n）≠0，所以数列{f（a_n）}为等比数列．
所以④正确．
故答案为①②④．