题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是______．

答案

∵F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

=

a-2x+1，x＞0 -a+2-x-1，x＜0

|f（x）|=|a-2^|x|+1|
两个函数的解析式不同，故①错误；
∵函数F（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称
且F（-x）=

-a+2x-1，x＞0 a-2x+1，x＜0

=-F（x）
故函数F（x）是奇函数，故②正确；
∵mn＜0，m+n＞0，
故m，n异号，
若m＞0，则n＜0，且|m|＞|n|
则F（m）+F（n）=a-2^m+1-a+2ⁿ-1=2ⁿ-2^m＜0
同理可证m＜0时，F（m）+F（n）＜0成立
故③正确
故正确的命题有：②③
故答案为：②③