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题目
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已知P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影
(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等,则O是△ABC外心;
(2)若PA、PB、PC与平面α所成的角相等,则O是△ABC的内心;
(3)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的内心;
(4)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的外心;
(5)若PA、PB、PC两两垂直,则O是△ABC的垂心.
其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)
答案
对于(1),如图P是△ABC所在平面外一点,O是P点在平面a上的射影.
若P到△ABC三个顶点的距离相等,由条件可证得OA=OB=OC,
由三角形外心的定义可知,此时O是三角形ABC的外心,
∴命题(1)正确;
对于(2),∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心,
∴命题(2)不正确.
对于(3),在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等,
∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点.三内角角平分线的交点,则O是△ABC的内心,
∴命题(3)正确;
对于(4),∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心.则O是△ABC的外心,命题(4)不正确.
对于(5),连结AO并延长,交BC与D连结BO并延长,交AC与E;
因PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥面PBC,故PA⊥BC;
因PO⊥面ABC,故PO⊥BC,故BC⊥面PAO,
故AO⊥BC即AD⊥BC;
同理:BE⊥AC;
故O是△ABC的垂心.
∴命题(5)正确;
故答案为:(1)(3)(5).
核心考点
试题【已知P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等,则O是△ABC外心;(2)若PA、PB、PC与平面α所成的角】;主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
有一个长方体容器ABCD-A1B1C1D1,装的水占恰好占其容积的一半;α表示水平的桌面,容器一边BC紧贴桌面,沿BC将其翻转使之略微倾斜,最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是EFGH(如图),设翻转后容器中的水形成的几何体是M,翻转过程中水和容器接触面积为S,则下列说法正确的是(  )
A.M是棱柱,S逐渐增大B.M是棱柱,S始终不变
C.M是棱台,S逐渐增大D.M是棱台,S积始终不变

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已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
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已知函数f(x)=(
1
2
)x
的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点对称;
②h(x)为偶函数;
③h(x)的最小值为0;
④h(x)在(0,1)上为减函数.
其中正确命题的序号为:______.
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下列四个命题:正确命题的个数为(  )
①若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,则a≠0且b2-8a<0;
②若logm3<lgn3<0,则0<n<m<1;
③对于函数f(x)=lnx的定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)必有f(
x1+x2
2
)
f(x1)+f(x2)
2

④若函数f(x)=3x-2x-3,则方程f(x)=0有2个实数根.
A.1B.2C.3D.4
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对于△ABC,有如下命题:
①一定有a=bcosC+ccosB成立.
②若cos2A=cos2B,则△ABC一定为等腰三角形;
③若△ABC的面积为


3
,BC=2,C=60°,则此三角形是正三角形;
则其中正确命题的序号是______.(把所有正确的命题序号都填上)
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