题目
题型:0103 期中题难度:来源:
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。
答案
又点A(1,)在椭圆上,
因此,得b2=3,于是c2=1,
所以椭圆C的方程为,焦点F1(-1,0),F2(1,0)。
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:,
即x1=2x+1,y1=2y,
因此,
即为所求的轨迹方程。
(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中,
又设点P的坐标为(x,y),
由,得
kPMkPN=,
将代入,得kPMkPN=。
核心考点
试题【设F1、F2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右两个焦点。(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设点】;主要考察你对曲线与方程的关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状:
(Ⅲ)当λ=-2时,过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、B两点,求△AOB的面积的最大值。
给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积大于a2;其中,所有正确结论的序号是( )。
(Ⅱ)如图所示,设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
B.x2tan2θ-y2=d2
C.y2=2d(x-)
D.y2=-2d(x-)
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