题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点。
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

答案

解：如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又设P点坐标为P（x，y），
则
1°当AB不垂直x轴时，x₁≠x₂，
由（1）-（2）得b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）；
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²-b²cx=0。
（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为
由于c²=a²-b²，a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤）
则==2sin（+）
当θ=时，上式达到最大值。
此时a²=2，b²=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
设椭圆Q：上的点 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
三角形ABD的面积S=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|
设直线m的方程为x=ky+1，代入中，得
（2+k²）y²+2ky-1=0
由韦达定理得y₁+y₂=，y₁y₂=

令t=k²+1≥1，得
当t=1，k=0时取等号
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。