题目
题型:湛江二模难度:来源:
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问:此命题是正确?试证明你的判断;
(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为平分依据)
答案
(Ⅰ)过F作l的垂线交l于K,以KF的中点为原点,KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图1,
并设|KF|=p,则可得该抛物线的方程为 y2=2px(p>0);
(Ⅱ)该命题为真命题,证明如下:
如图2,设PQ中点为M,P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D,
∵PQ是抛物线过焦点F的弦,
∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位线,
∴|MD=
1 |
2 |
1 |
2 |
|PQ| |
2 |
∵M是以PQ为直径的圆的圆心,
∴圆M与l相切.
(Ⅲ)选择椭圆类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”.
此命题为真命题,证明如下:
证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,
则0<e<1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,
∵
|PF| |
PA |
|PF| |
e |
|QF| |
e |
∵MD是梯形APQB的中位线,
∴|MD|=
|PA|+|QB| |
2 |
1 |
2 |
|PF| |
e |
|QF| |
e |
|PQ| |
2e |
|PQ| |
2 |
∴圆M与准线l相离.
选择双曲线类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与双曲线相应的准线l相交”.
此命题为真命题,证明如下:
证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,
则e>1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,
∵
|PF| |
PA |
|PF| |
e |
|QF| |
e |
∵MD是梯形APQB的中位线,
∴|MD|=
|PA|+|QB| |
2 |
1 |
2 |
|PF| |
e |
|QF| |
e |
|PQ| |
2e |
|PQ| |
2 |
∴圆M与准线l相交.
核心考点
试题【如图,F是定直线l外的一个定点,C是l上的动点,有下列结论:若以C为圆心,CF为半径的圆与l相交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围.
1 |
an-2 |
①求k的值;
②求证数列{bn}是等差数列;
③求数列{an}的通项公式.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
3 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点(0,2)直线l与C交于A,B,若∠AOB为锐角,求直线l的斜率的取值范围.
x2 |
36 |
y2 |
9 |
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