已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3（1）求椭圆C的方程；（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，短轴的一个端点到右焦点的距离为

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B，若∠AOB为锐角，求直线l的斜率的取值范围．

答案

（1）由e2=

得a²=3b²，又由题意知a=

，所以b=1，所以

+y2=1…（4分）
（2）设直线方程为y=kx+2，所以

y=kx+2

x2+3y2=3

⇒(3k 2+1)x2+12kx+9=0，…（2分）
由题意知△=144k²-36（3k²+1）＞0，解得k²＞1…（1分）
又

x1+x2=

-12k

3k2+1

x1x2=

3k2+1

，由∠AOB为锐角可得，

•

＞0即x₁x₂+y₁y₂＞0…（2分）
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，代解得k2＜

…（2分）
综上可得1＜k2＜

…（1分）

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3（1）求椭圆C的方程；（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线C的顶点为（1，0），焦点在x轴上，若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点坐标为（5，7），求抛物线C的方程．

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已知直线l被椭圆

=1所截得的弦的中点为M（4，2），则l被椭圆截得的弦长为______．

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将圆x²+y²=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l过点F₁且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l₁与线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）是否存在过点（0，-2）的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），若存在，求直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

魔方格

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已知点A（-2，0），B（2，0）
（1）过点A斜率

的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；
（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，

），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．

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已知点F(

，0)，动圆P经过点F，与直线x=-

相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求曲线W的方程；
（2）当m=2时，证明：OA⊥OB；
（3）当y₁y₂=-2m时，是否存在m∈R，使得

•

=-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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