题目

题型：不详难度：来源：

已知直线l：y=x+m与椭圆

x2

20

+

y2

5

=1相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

答案

（1）直线l：y=x+m代入椭圆

x2

20

+

y2

5

=1，可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直线l：y=x+m与椭圆

x2

20

+

y2

5

=1相交于不同的两点A，B，
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

∴k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

2• 4m2-20 5 +(m-5)(- 8m 5 )-8(m-1)

x1x2-4(x1+x2)+16

=0
∴直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．