题目

题型：武汉模拟难度：来源：

过双曲线C：x2-

y2

m2

=1的右顶点A作两条斜率分别为k₁、k₂的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，其k₁、k₂满足关系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m²=2+

3

时，若∠MAN=60°，求直线MA、NA的方程．

答案

（1）C：x2-

y2

m2

=1的右顶点A坐标为（1，0）
设MA直线方程为y=k₁（x-1），代入m²x²-y²-m²=0中，整理得（m²-k₁）x²+2k₁²x-（k₁²+m²）=0）
由韦达定理可知xm•xA=

k 21 +m2

k 21 -m2

，而x_A=1，又k₁k₂=-m²
∴xm=

k 21 +m2

k 21 -m2

=

k 21 -k1k2

k 21 +k1k2

=

k1-k2

k1+k2

于是ym=k1(xm-1)=k1(

k1-k2

k1+k2

-1)=

-2k1k2

k1+k2

由同理可知yn=

-2k1k2

k1+k2

，于是有y_m=y_n
∴MN∥x抽，从而MN直线率k_MN=0．
（2）∵∠MAN=60°，说明AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°．
则

k2-k1

1+k1k2

=

3

或

k1-k2

1+k1k2

=

3

，
又k1k2=-(3+

3

)，k₁＞k₂
从而

k2-k1=-3- 3 k1k2=-(2+ 3 )

则求得

k1=1 k2=-(2+ 3 )

或

k1=2+ 3 k2=-1

因此MA，NA的直线的方程为y=x-1，y=-(2+

3

)(x-1)
或为y=(2+

3

)(x-1)，y=-（x-1）．