题目

题型：崇明县二模难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），点A、B坐标为A（a，0），B（0，b），若△ABC面积为

3

2

，∠BF₂A=120°．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N，且以MN为直径的圆恰好过原点，求实数k的取值；
（3）动点P使得

F1P

•

F1F2

、

PF1

•

PF2

、

F2F

1•

F2P

成公差小于零的等差数列，记θ为向量

PF1

与

PF2

的夹角，求θ的取值范围．

答案

（1）在RT△BOF₂中，∠BF₂O=60°，计算得：b=

3

c，a=2c
由S△ABF2=

1

2

((a-c)b=

3

2

，计算得a=2，b=

3

，c=1，所以椭圆标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设交点M、N坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
将直线y=kx+2代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1整理得方程，3+4k²）x²+16kx+4=0；

x1+x2=- 16k 3+4k2 x1•x2= 4 3+4k2

由△＞0得k＜-

1

2

或k＞

1

2

由MN为直径的圆过原点得x₁•x₂+y₁•y₂=0，所以x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，计算并检验得k=±

2 3

3

即为所求．
（3）设P（x，y），由

F1P

•

F1F2

、

PF1

•

PF2

、

F2F

1•

F2P

成公差小于零的等差数列得：x²+y²=33≥x²＞0cosα=

PF1 • PF2

|PF1| ×| PF2 |

=

1

4-x2

所以

1

2

＜cosθ≤1，所以

π

3

＞θ≥0．