如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；（2）求弦AB中点M的轨迹方程． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

答案

（1）∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0）
∴联立方程

y=kx

y2=2px

解得xA=

，yA=

（4分）
以-

代上式中的k，解方程组

y=-

y2=2px

，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（

，

），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得

x=p(

+k2)

y=p(

-k)

（10分）
消去参数k，得y²=px-2p²；即为M点轨迹的普通方程．（12分）

核心考点

试题【如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；（2）求弦AB中点M的轨迹方程．】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

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抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=

．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图椭圆C的方程为

=1(a＞b＞0)，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

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直线y=2x+1与椭圆

=1的位置关系是（　　）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定

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如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=

|MD|，点A、F₁的坐标分别为（0，

），（-1，0）．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

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