已知抛物线y=-x22与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1．（1）求直线l的方程；（2）求△AOB的面积． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y=-

与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1．
（1）求直线l的方程；
（2）求△AOB的面积．

答案

（1）显然直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-1

y=-

得x²+2kx-2=0，
∴x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2．
∵

=1，
∴

kx1-1

kx2-1

=2k-

x1+x2

x1x2

=2k-

-2k

-2

=1，解得k=1
所以直线l的方程为y=x-1．
（2）解法1：∵|x1-x2|=

4k2+8

，|OM|=1．
∴S△AOB=

|x1-x2||OM|=

．
解法2：∵|AB|=

1+K2

|x1-x2|=

1+K2

4k2+8

．
h=

．
S△AOB=

|AB|•h=

．

核心考点

试题【已知抛物线y=-x22与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1．（1）求直线l的方程；（2）求△AOB的面积．】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，短轴一个端点到右焦点的距离为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

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如图，A（-1，0），B（1，0），过曲线C₁：y=x²-1（|x|≥1）上一点M的切线l，与曲线C2：y=-

m(1-x2)

(|x|＜1)也相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求此时MN所在直线的方程．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(

，

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

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如图，P是抛物线C：x²=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；
（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T
①求证：

|ST|

|SP|

|ST|

|SQ|

=|b|(

)
②求

|ST|

|SP|

|ST|

|SQ|

的取值范围．

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