题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

答案

（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

c a = 6 3 a= 3

∴b=1，…．（2分）
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．…..（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，
设A（m，m）代入椭圆方程得：m=

3

2

…．（6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立

x2 3 +y2=1 y=kx+m

，
整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．…．（8分）
又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

3k2(m2-1)

1+3k2

+

-6k2m2

1+3k2

+m2=

m2-3k2

1+3k2

．
由以|AB|为直径的圆过原点，则有

OA

•

OB

=0．…..（10分）
即：x₁x₂+y₁y₂=0，故满足：

3(m2-1)

1+3k2

+

m2-3k2

1+3k2

=0得：4m²=3+3k²，所以m²=

3

4

(k2+1)．
又点O到直线AB的距离为：d=

|m|

1+k2

=

3 2 1+k2

1+k2

=

3

2

．
综上所述：点O到直线AB的距离为定值

3

2

．…（13分）