题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(

2

，

6

2

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

答案

（1）由题意得2c=2，∴c=1，又

2

a2

+

3

2b2

=1，a²=b²+1．
消去a可得，2b⁴-5b²-3=0，解得b²=3或b2=-

1

2

（舍去），则a²=4，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）（ⅰ）设P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），则k1=

y0

2

，k2=

y1

x1-2

，
∵A，P，M三点共线，∴y0=

4y1

x1+2

，∴k1k2=

y0y1

2(x1-2)

=

4y12

2( x 21 -4)

，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，∴

y

21

=

3

4

(4-

x

21

)，故k1k2=

4y12

2( x 21 -4)

=-

3

2

为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为k2=

y1

x1-2

，直线m的斜率为km=

2-x1

y1

，
则直线m的方程为y-y0=

2-x1

y1

(x-2)，y=

2-x1

y1

(x-2)+y0=

2-x1

y1

x-

2(2-x1)

y1

+

4y1

x1+2

=

2-x1

y1

x+

2(x12-4)+4 y 21

(x1+2)y1

=

2-x1

y1

x+

2(x12-4)+12-3 x 21

(x1+2)y1

=

2-x1

y1

x+

2-x1

y1

=

2-x1

y1

(x+1)，
即y=

2-x1

y1

(x+1)．
所以直线m过定点（-1，0）．