题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点,().求证:直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
答案
(3)
解析
试题分析:解:(Ⅰ)∵PF1⊥x轴,
∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,
椭圆E的方程为:;…………………4分
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得
(x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ),
所以x1+x2=-2,y1+y2=(2-)………①
又,,
两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②
以①式代入可得AB的斜率k=为定值; ……………9分
(Ⅲ)设直线AB的方程为y=x+t,
与联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0, △=3(4-t2),
AB|=,
点P到直线AB的距离为d=,
△PAB的面积为S=|AB|×d=, ………10分
设f(t)=S2=(t4-4t3+16t-16) (-2<t<2),
f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f’(t)=0及-2<t<2得t=-1.
当t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1时取得最大值,
所以S的最大值为.此时x1+x2=-t=1=-2,=3. ………………15分
点评:解析几何中的圆锥曲线的求解,一般运用待定系数法来求解,同时运用设而不求的思想来研究直线与椭圆的位置关系,属于中档题。
核心考点
试题【(本题15分)已知点是椭圆E:()上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足
为坐标原点),当时,求实数的取值范围。
已知椭圆的中点在原点O,焦点在x轴上,点是其左顶点,点C在椭圆上且·="0," ||=||.(点C在x轴上方)
(I)求椭圆的方程;
(II)若平行于CO的直线和椭圆交于M,N两个不同点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.
(1) 求的解析式;
(2) 设为坐标原点,是一系列正三角形,记它们的边长是,求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,数列满足,记的前项和为,证明:。
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