题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求的值和抛物线C的准线方程;
(Ⅱ)若P为抛物线C上位于轴下方的一点,直线是抛物线C在点P处的切线,问是否存在平行于的直线与抛物线C交于不同的两点A,B,且使?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)因为抛物线C:与椭圆共焦点,
所以抛物线C:的焦点为(1,0) (1分)
所以得 (3分)
抛物线C的准线方程为 (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线C:
因为 P为抛物线C上位于轴下方的一点,
所以点P满足 ,
所以点处的切线的斜率为
所以平行于的直线方程可设为 (6分)
解方程组,消去得:,(7分)
因为直线与抛物线C交于不同的两点A,B,
所以即, (8分)
设,则
, (10分)
所以线段AB的中点为,
线段AB的中垂线方程为 (12分)
由知点P在线段AB的中垂线上
所以 , (13分)
又得代人上式得 ,(14分)
而 且,所以无解.
从而不存在满足条件的直线. (15分)
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求抛物线准线方程时,主要运用了椭圆、抛物线的定义及几何性质。(2)作为研究直线与抛物线相交时弦长的范围问题,应用韦达定理,建立了k的不等式,进一步使问题得解。
核心考点
试题【已知抛物线C:与椭圆共焦点,(Ⅰ)求的值和抛物线C的准线方程;(Ⅱ)若P为抛物线C上位于轴下方的一点,直线是抛物线C在点P处的切线,问是否存在平行于的直线与抛物】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆方程;
(2)设直线的斜率分别为,若,设△与△的面积分别为,求的最大值.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线,使其与圆C交于A, B两点,且OA⊥OB,若存在,求出该直线方程,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程,并说明方程表示的曲线;
(Ⅱ)当时,记动点的轨迹为曲线.
①若是圆上任意一点,过作曲线的切线,切点是,求的取值范围;
②已知,是曲线上不同的两点,对于定点,有.试问无论,两点的位置怎样,直线能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由.
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