题目

题型：不详难度：来源：

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

答案

（I）（II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）

解析

（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂==2，即a=
∴椭圆的离心率e===…4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），则
，，又|AQ|²=（1+k²）x²，
∴，即=…①
将y=kx+2代入中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²﹣24（2k²+1）＞0，得k²＞
由②知x₁+x₂=，x₁x₂=，代入①中化简得x²=…③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）²﹣3x²=18
由③及k²＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，
又由10（y﹣2）²﹣3x²=18得（y﹣2）²∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣）
所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）²﹣3x²=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分