题目
题型:不详难度:来源:
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
答案
(2)直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点”.
解析
试题分析:
思路分析:(1)紧扣“C1-C2型点”的定义,确定C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
(2)通过研究直线与C2有交点的条件,分别得到和 ,不可能同时成立,得到结论:直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则
根据直线与圆内部有交点,得到
化简得,............①
再根据直线与曲线C1有交点, 由方程组
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立 ,得出结论。
解:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
(2)直线与C2有交点,
则,若方程组有解,则必须;
直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则
直线与圆内部有交点,故
化简得,............①
若直线与曲线C1有交点,则
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点”.
点评:难题,本题综合性较强,综合考查直线与圆、双曲线的位置关系以及不等式问题。从思路方面讲,要紧扣“C1-C2型点”的定义,研究方程组解的情况。
核心考点
试题【如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;
(II)过点的直线与曲线交于两点,与所在直线交于点,,证明:为定值.
(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称
点为(不重合) 试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
(I) 给出下列三个结论:
①曲线关于原点对称;
②曲线关于直线对称;
③曲线与轴非负半轴,轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于;
其中,所有正确结论的序号是_____;
(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.
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