题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
答案
解析
由焦点坐标可得c=1.由|PQ|=3,可得=3.
又a2-b2=1,得a=2,b=.故椭圆方程为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨令y1>0,y2<0,
设△F1MN的内切圆的半径R,
则△F1MN的周长为4a=8,S△F1MN= (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R,
因此要使△F1MN内切圆的面积最大,则R最大,此时S△F1MN也最大.
S△F1MN=|F1F2||y1-y2|=y1-y2,
由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,
由得(3m2+4)y2+6my-9=0,
得y1=,y2=,
则S△F1MN=y1-y2=,
令t=,则t≥1,则S△F1MN=.
令f(t)=3t+,则f′(t)=3-,当t≥1时,f′(t)>0,
所以f(t)在[1,+∞)上单调递增,有f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤=3,
当t=1,m=0时,S△F1MN=3,又S△F1MN=4R,∴Rmax=.
这时所求内切圆面积的最大值为π.
故△F1MN内切圆面积的最大值为π,且此时直线l的方程为x=1.
核心考点
试题【已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.(1)求椭圆的方程;(2)过F2的直线l与椭圆交】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再作直线与椭圆有且仅有一个公共点,直线交直线于点.求证:以线段为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
条件 | 方程 |
①周长为10 | |
②面积为10 | |
③中, |
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
(1)若是第一象限内该椭圆上的一点,,求点的坐标;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其
中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
(1)求m的值;
(2)O为坐标原点,若,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设椭圆的左右顶点分别为A,B,动点,直线与直线分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.
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