题目
题型:不详难度:来源:
(1)求圆的方程及曲线的方程;
(2)若两条直线和分别交曲线于点、和、,求四边形面积的最大值,并求此时的的值.
(3)证明:曲线为椭圆,并求椭圆的焦点坐标.
答案
解析
试题分析:(1)圆的半径等于圆心到切线的距离,曲线的方程可通过已知变形得到,条件是,,把已知式平方可得出的方程;(2)从方程可看出,即,因此,我们把方程与曲线方程联立方程组可解得两点坐标,从而得到,把中的,用代可得出,从而求出,变形为,易知,故当即时,取得最大值,为了求最大值,也可作变形,应用基本不等式基本不等式知识得出结论;(3)要证曲线为椭圆,首先找它的对称轴,从方程中可看出直线是其对称轴,接着求出曲线与对称轴的交点即椭圆的顶点,这样可求得长轴长和短轴长,根据公式,求出半焦距,这样可求出焦点,下面我们只要按照椭圆的定义证明曲线的点到两定点的距离之和为定值,也可求出到两定点的距离之和为定值的点的轨迹方程是曲线的方程,这样就完成了证明.
试题解析:(1)由题意圆的半径,
故圆的方程为. 2分
由得,,
即,得
()为曲线的方程.(未写范围不扣分) 4分
(2)由得,,
所以,同理. 6分
由题意知 ,所以四边形的面积.
,
∵ ,∴ . 8分
当且仅当时等号成立,此时.
∴ 当时,四边形的面积最大值为. 10分
(3)曲线的方程为(),它关于直线、和原点对称,下面证明:
设曲线上任一点的坐标为,则,点关于直线的对称点为,显然,所以点在曲线上,故曲线关于直线对称,
同理曲线关于直线和原点对称.
可以求得和直线的交点坐标为
和直线的交点坐标为,
,,,.
在上取点
下面证明曲线为椭圆:
ⅰ)设为曲线上任一点,则
(因为)
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
ⅱ)若点到两定点的距离之和为定值,可以求得点的轨迹方程为(过程略).
故曲线是椭圆,其焦点坐标为. 18分
第(3)问说明:
1. ⅰ)、ⅱ)两种情形只需证明一种即可,得5分,
2. 直接写出焦点的坐标给3分,未写出理由不扣分.
核心考点
试题【如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线.(1)求圆的方程及曲线的方程;(2)若两条直线和分】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
①函数在上是单调递减函数;②函数的值域是;
③函数的图象不经过第一象限;④函数的图象关于直线对称;
⑤函数至少存在一个零点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:点M在直线上;
(3)是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍?若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点,且,又点关于原点的对称点为点,试问、、、四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点在椭圆上(异于点,,)且直线PB,PC分别交直线OA于,两点,证明为定值并求出该定值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于、两点,且,试判断的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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