题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点,且,又点关于原点的对称点为点,试问、、、四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)设出圆的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出,利用离心率及,求出,即可求出椭圆的标准方程;
(2)求出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,设,利用
,求出坐标,又点关于原点的对称点为点求出的坐标,推出线段的中垂线方程和,然后求出和的交点为,推出四点共圆.
试题解析:(1)由题意可得圆的方程为,
∵直线与圆相切,∴,即, 2分
又,及,得,所以椭圆方程为. 4分
(2)因直线过点,且斜率为,故有
联立方程组,消去,得 6分
设、,可得,于是.
又,得即 8分
而点与点关于原点对称,于是,可得点
若线段、的中垂线分别为和,,则有
联立方程组,解得和的交点为 10分
因此,可算得
所以、、、四点共圆,且圆心坐标为半径为 12分
核心考点
试题【已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点,且,又点关于原点的对称点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点在椭圆上(异于点,,)且直线PB,PC分别交直线OA于,两点,证明为定值并求出该定值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于、两点,且,试判断的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、,过、两点作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值.
(1)求椭圆方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点,求实数的取值范围;
(3)设(2)中直线与双曲线交于两个不同点,若以线段为直径的圆经过坐标原点,求实数的值.
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