题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线方程;
(2)轴上是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足∠POQ=90°?证明你的结论.
答案
与直线方程4x+y-20=0联立,有:(-4x+20)2=4px
∴4x2-(p+40)x+100=0,且y=-4x+20
该方程的解为B,C两点的坐标(x2,y2),(x3,y3)
x2+x3=
p+40 |
4 |
y2+y3=-4(x2+x3)+40=-p (2)
设A(x1,y1)
∵A在抛物线上
∴y12=4px1(3)
△ABC重心坐标为:(
x1+x2+x3 |
3 |
y1+y2+y3 |
3 |
∵重心为抛物线焦点
∴
x1+x2+x3 |
3 |
y1+y2+y3 |
3 |
将(1),(2)代入,得:
x1+
p+40 |
4 |
与(3)联立,三个方程,x1,y1,p三个未知数,可解
解得:p=4
故抛物线的方程为y2=16x.
(2)设点M(a,b) P(x4,y4) Q(x5,y5)
①当直线L的斜率不存在时 即 x4=x5=a 且 a>0
则:令 y4=4
a |
a |
∵∠POQ=90°∵
OQ |
a |
OP |
a |
∴
OQ |
OP |
解得:a=16 或 a=0(舍去)
②当直线L的斜率存在时 设斜率为k 则 直线L的方程为:
y-b=k(x-a) (k≠0)
∴联立方程:
|
消去x 得:ky2-16y+16b-16ka=0
∴y4+y5=
16 |
k |
16b-16ka |
k |
∴x4×x5=
(ka-b)2 |
k2 |
∵∠POQ=90°
∴
OQ |
OP |
16b-16ka |
k |
(ka-b)2 |
k2 |
即:k2(a2-16a)+k(16b-2ab)+b2=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组:
|
∴解得:a=16,b=0
∴点M(16,0)
综上所述:存在定点M,使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点,
点M的坐标为:(16,0)
核心考点
试题【已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y-20=0.(1)求抛物线方程;(2)轴上是否存在定点M,使过M】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅰ)求曲线D的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的△APM?①点M在椭圆C上;②点O为APM的重心.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形ABC的三点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心G的坐标为(
x1+x2+x3 |
3 |
y1+y2+y3 |
3 |
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ) 设点A(x1,y1),B(x2,y2)(yi≤0,i=1,2)是抛物线上的两点,∠APB的角平分线与x轴垂直,求△PAB的面积最大时直线AB的方程.