题目

题型：浙江二模难度：来源：

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F₁、F₂是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是______．

答案

设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
设a₁是椭圆的实半轴，a₂是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

( c a2 )2

3

=1，
解得e₂=

3

．
故答案为：

3

．