题目

题型：不详难度：来源：

已知平面内两定点F1(0，-

5

)、F2(0，

5

)，动点P满足条件：|

PF1

|-|

PF2

|=4，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求

OQ

•

OR

的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，记x_A、x_B分别为A、B两点的横坐标，求|x_A•x_B|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，求△AOB面积的最大值．

答案

（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
其中c=

5

，2a=4，
∴b=1，
∴曲线E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)．
（II）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由

y2 4 -x2=1 y=k(x+1)

，得(1-

4

k2

)y2+

8

k

y-8=0，
当1-

4

k2

=0，即k=±2时，显然不符合题意，
∴1-

4

k2

≠0．
∴

△=32- 64 k2 ＞0 y1+y1= 8k 4-k2 ＞0 y1•y2= 8k2 4-k2 ＞0

，
解得

2

＜k＜2．
∵x1•x2=

y1•y2

k2

-

y1+y2

k

+1=1，
∴

OQ

•

OR

=x1x2+y1y2
=1+

8k2

4-k2

=1-

8(k2-4)+32

k2-4

=-7+

32

4-k2

．
∵

2

＜k＜2，
∴0＜4-k²＜2，
∴

1

4-k2

＞

1

2

，
∴

OQ

•

OR

∈(9，+∞)．
（III）（文科做）∵曲线E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
不妨设x_A＞0，x_B＜0，
即A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），
由

AP

=λ

PB

，得P点的坐标为（

xA+λxb

1+λ

，

2(xA-λxB)

1+λ

），
将P点坐标代入

y2

4

-x2=1中，
化简，得xA•xB=

(1+λ)2

-4λ

=-

1

4

(λ+

1

λ

+2)．
∴|xA•xB|=

1

4

(λ+

1

λ

+2)，λ∈[

1

3

，2]
∵λ+

1

λ

≥2，当且仅当λ=1时，等号成立．
∴|x_A•x_B|_min=1．
（理科做））∵曲线E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．
∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，
∴点P必内分线段AB，
故点A，B均在x轴上方，
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由

AP

=λ

PB

，得点P的坐标为（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

）．
将点P的从标代入

y2

4

-x2=1中，
化简，得mn=

(1+λ)2

4λ

．
设∠AOB=2θ，
∵tan(

π

2

-θ)=2，
∴tanθ=

1

2

，sin2θ=

4

5

，
∵|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ
=2mn
=

1

2

(λ+

1

λ

)+1．
∵λ∈[

1

3

，2]，
∴λ+

1

λ

∈[2，

10

3

]，
∴S△AOB∈ [2，

8

3

]．
∴△ABC面积的最大值为

8

3

．