题目
题型:0103 模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)对于的任意一确定的位置,在直线x=上是否存在一点Q,使得,并说明理由。
答案
∴,
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支,
设其方程为,
则a=1,c=2,∴,
∴轨迹W的方程为。
(Ⅱ)当的斜率不存在时,显然不满足,故的斜率存在,
设的方程为,
由得,
又设,
则,
由①②③,解得:,
∵,
∴,
∴,
代入①②,得,,
消去x1,得,即,
故所求直线的方程为。
(Ⅲ)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点,若直线的斜率不存在,则以AB为直径的圆为,可知其与直线x=相交;
若直线的斜率存在,则设直线的方程为,,
由(Ⅱ)知且,
又N(2,0)为双曲线的右焦点,双曲线的离心率e=2,
则,
设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直径x=的距离为d,则
,
∴,
∵,
∴,即,即直线与圆S相交,
综上所述,以线段AB为直径的圆与直线相交;
故对于的任意一确定的位置,在直线上存在一点Q(实际上存在两点)使得。
核心考点
试题【已知动圆P过点N(2,0)并且与圆M:(x+2)2+y2=4相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。(Ⅰ)求轨迹W的方程;(Ⅱ)若,求】;主要考察你对双曲线等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点Q(2,0)的直线L与点P的轨迹交于E、F两点,求证为常数。
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