题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，P是椭圆上任一点，若∠F₁PF₂的最大值为

2π

3

．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于M、N两点，且l与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切．已知|MN|的最大值为4，求椭圆的方程和直线l的方程．

答案

∵椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）
（1）|PF₁|+|PF₂|=2a
cosF₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1＞1-2e2=-

1

2

∴e=

3

2

（2）∵e=

3

2

，∴a²=4b²．
∴椭圆方程为y²+4x²=4b²
该直线l：y=kx+m．
∵直线l与圆x²+y²=b²相切，∴m²=b²（1+k²）①
从

y2+4x2=4b2 y=kx+m

得（4+k²）x²+2kmx+m²-4b²=0
∵|MN|=4

3

b•

1

1+k2 + 3 1+k2

≤2b
当且仅当k=±

2

时取等号．
∴l：y=±

2

x+2

3

此时椭圆方程为：

x2

4

+

y2

16

=1．