题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆，
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。
（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（0.5,0.5）且被P点平分的弦所在直线的方程。

答案

（1）y=；
（2）(去除包含在椭圆内部的部分)；
（3）2x+4y-3=0。

解析

(1)设这些平行弦的方程为y=2x+m,弦的中点为M(x,y).
联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m,消去y得,
,
因此=-,.
M的坐标是:x=,y=2x+m,,消去m得:y=.
(2)设弦的端点为P(),Q(),其中点是M(x,y).

因此:=,
化简得:(去除包含在椭圆内部的部分).
(3)由(2)可得弦所在直线的斜率为k==,因此所求直线方程是:
y-=-(x-),化简得:2x+4y-3=0.