题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：
;
（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值

答案

（1）椭圆的方程为；（2）同解析（3）取得最小值

解析

（1）由题意得：


椭圆的方程为
(2)方法一：
由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设为椭圆的左准线。则
作，与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上




同理
。
方法二：
当时，记，则
将其代入方程  得
设  ，则是此二次方程的两个根.


   ................(1)
代入（1）式
得      ........................(2)
当时， 仍满足（2）式。

（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得
   ，

当时，取得最小值