题目

题型：不详难度：来源：

（本小题12分）
过椭圆的一个焦点且垂直于轴的直线交椭圆于点。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于两点、，使得（其中为弦的中点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由

答案

（Ⅰ）椭圆的方程为
（Ⅱ）满足条件的直线存在，方程为

解析

21．本小题主要考查直线、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分。
解：（I）依题意，得
．                                     ………………………2分
解得，．
椭圆的方程为．                        ………………………4分
（注：本小题从椭圆定义求解亦可）
（II）设满足条件的直线存在，方程为（必存在），代入椭圆方程，得
．                       ………………………5分
首先，得．                          ……………………6分
设，，则．……………………7分
为的中点，且，
．                                         ……………………8分

    
 

，满足．   ……………………11分
满足条件的直线存在，方程为．           ……………………12分
（注：考生对采用其它方法转化，可参照给分）