题目

题型：不详难度：来源：

(12分) 已知椭圆C：，其相应于焦点的准线方程为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线分别交椭圆C于A、B两点，求证：；（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E，求的最小值。

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ)见解析   （Ⅲ）

解析

（Ⅰ）由题意得：，∴，∴椭圆C的方程为。
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是椭圆C的左焦点，离心率，设是椭圆的左准线，则：作于，于，
于轴交于点H（如图），
∵点A在椭圆上，∴
==
∴，同理
∴。
方法二：当时，记。则AB：
将其代入方程得
设，则是此二次方程的两个根。∴，

 ①∵，代入①式得。②
当时，仍满足②式。∴。
（Ⅲ）设直线AB倾斜角为，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得
，，
当或时，取得最小值。