题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，以F₁,F₂为焦点的椭圆C过点.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点，过点F₂作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围.

答案

（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）.

解析

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，以，为焦点的椭圆C过点，故可用待定系数法求椭圆方程，设椭圆的标准方程为，由条件求出即可；（Ⅱ）设点，过点F₂作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围，这是直线与圆锥曲线交点问题，可采用设而不求的解题思想，设出直线的方程（注意需讨论斜率不存在情况），与Ａ，Ｂ两点坐标，利用根与系数关系来解，当直线斜率不存在时，直接求解A，B的坐标得到的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用，消掉点的坐标得到λ与k的关系，根据λ的范围求k的范围，然后把转化为含有k的函数式，最后利用基本不等式求出的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，
设椭圆的标准方程为，
则  ③
   ④         
将④代入③，解得或（舍去）  
所以       
故椭圆的标准方程为                              4分
（Ⅱ）方法一：
容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为
将直线的方程代入中得：.       6分
设，则由根与系数的关系，
可得：     ⑤
       ⑥             7分
因为，所以，且.
将⑤式平方除以⑥式，得：

由
所以                           10分
因为，所以，
又，所以，
故
，
令，因为
所以，即，
所以.
而，所以.
所以.                    13分
方法二：
1）当直线的斜率不存在时，即时，，，
又，所以          6分
2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为
由得
设，显然，则由根与系数的关系，
可得：，                 7分
         ⑤
   ⑥
因为，所以，且.
将⑤式平方除以⑥式得：

由得即
故，解得                 10分
因为，
所以，
又，
故
       11分
令，因为
所以，即，
所以.
所以                                12分
综上所述：.                          13分