题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值.

答案

（1）椭圆的方程为；（2）详见解析.

解析

试题分析：（1）先根据题中条件求出、、，进而可以求出椭圆的方程；（2）先由直线的方程与椭圆的方程联立求出点的坐标，然后由、、三点共线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点的坐标，于是得到直线的斜率，最终证明为定值.
试题解析：（1）由直线与圆得，
由，得，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）因为，不为椭圆定点，即的方程为，①②
将①代入，解得，
又直线的方程为， ②
由、、三点共线可得，
所以的斜率为，则（定值）.