题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

答案

（1）＝1.（2）PQ的斜率为定值1

解析

(1)由题设，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a²＝6，b²＝3，故椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1.
若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x²＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．记P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k²)x²＋(8k²－4k)x＋8k²－8k－4＝0，
则－2，x₁是该方程的两根，则－2x₁＝，即x₁＝.
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x₂＝.
因y₁＋1＝k(x₁＋2)，y₂＋1＝－k(x₂＋2)，
故k_PQ＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．