题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a，0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜角．

答案

（1）＋y²＝1（2）或

解析

(1)由e＝＝，解得3a²＝4c².再由c²＝a²－b²，解得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得
所以椭圆的方程为＋y²＝1.
(2)由(1)可知点A(－2，0)，设点B的坐标为(x₁，y₁)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0，
由－2x₁＝，得x₁＝，从而y₁＝，
故|AB|＝＝.
由|AB|＝，得＝.整理得32k⁴－9k²－23＝0，
即(k²－1)(32k²＋23)＝0，解得k＝±1.所以直线l的倾斜角为或