题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆＝1(a＞b＞c＞0，a²＝b²＋c²)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b－c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

答案

≤e＜

解析

因为PT＝(b＞c)，而PF₂的最小值为a－c，所以PT的最小值为.依题意有，≥(a－c)，
所以(a－c)²≥4(b－c)²，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)²≥4(a²－c²)，
所以5c²＋2ac－3a²≥0，所以5e²＋2e－3≥0　①.
又b＞0，所以b²＞c²，所以a²－c²＞c²，
所以2e²＜1②，联立①②，得≤e＜.