题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的左、右焦点分别为、， 焦距为2，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的动直线交椭圆于A、B两点，判断是否存在直线使得为钝角，若存在，求出直线的斜率的取值范围

答案

（1）椭圆方程为；（2）存在定点，使以AB为直径的圆恒过点 

解析

试题分析：(1) 过作垂直于椭圆长轴的弦长为，由此可得，解得，从而可得椭圆的方程 （2）首先考虑直线的斜率不存在的情况 当过直线的斜率存在时，设直线的方程为，设, 由 得： 当为钝角时，，利用韦达定理将不等式化为含的不等式，解此不等式即可得的取值范围
试题解析：(1)依题意                                 （2分）
解得，∴椭圆的方程为：                  （4分）
（2）（i）当过直线的斜率不存在时，点，
则,显然不为钝角                        （5分）
(ii)当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
设, 由 得：
 恒成立
                             （8分）

                  （11分）
当为钝角时，<0，
综上所述,满足条件的直线斜率k满足且                  （13分）