题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．

答案

（1）＝1（2）k＝±1.

解析

(1)由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＝1.
(2)由得(1＋2k²)x²－4k²x＋2k²－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
则y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
所以MN＝＝.
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝MN·d＝.由＝，解得k＝±1.