题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)若点,求直线的方程,并证明点平分线段.
答案
解析
试题分析:(1)由题得,,联立解这个方程组即得.(2)首先求出直线MN的方程.由于MN过点P(1,1),故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB,故先求出直线AB的斜率.设,则.由可得点C的坐标,由可得点D的坐标,将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式,利用这四个等式可整体求出,然后求出直线MN的方程,与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标,从而问题得证 .
(1)由题得,,联立 解得,,,
∴椭圆方程为 4分
(2)方法一:设,由可得.
∵点在椭圆上,故
整理得: 6分
又点在椭圆上可知,
故有 ①
由,同理可得: ②
②-①得:,即 9分
又∥,故
∴直线的方程为:,即.
由可得:
∴是的中点,即点平分线段 12分
(2)方法二:∵,,∴,即
在梯形中,设中点为,中点为,
过作的平行线交于点
∵与面积相等,∴
∴,,三点共线 6分
设,
∴,,
两式相减得 ,
显然,(否则垂直于轴,因不在轴上,此时不可能垂直于轴保持与平行)且(否则平行于轴或经过原点,此时,,三点不可能共线)
∴
设直线斜率为,直线斜率为
∴,即 ①
设直线斜率为,直线斜率为
同理,,又,∴即三点共线 8分
∴四点共线,∴,代入①得 9分
∴直线的方程为 即
联立得
∴点平分线段 12分
核心考点
试题【如图所示,离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点、和、,且满足,其中为常数,过点作的平行线交椭圆于、两点.(1】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.16 B.11 C.8 D.3
A. B.
C. D.
A.7倍 | B.5倍 | C.4倍 | D.3倍 |
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