题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知椭圆的离心率，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
 （1）求椭圆的方程；
 （2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且，求y₀的值。

答案

解：（1）由得3a²=4c²
再由c²=a²-b²，得a=2b
由题意可知
即ab=2
解方程组
得a=2，b=1
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可知A（-2，0），设B点的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（c+2）
于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由得
从而
设线段AB的中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由得y₀=
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由
·
整理得7k²=2，故
所以
综上或。