题目

题型：天津模拟题难度：来源：

设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且，
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁，F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点（如图所示），若四边形DMEN的面积为，求DE的直线方程。

答案

解：（Ⅰ）由题意，=2c=2，∴A（a²，0），
∵，
∴F₂为AF₁的中点，
∴a²=3，b²=2，
即椭圆方程为；
（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，，此时，
四边形DMEN的面积不符合题意，故舍掉；
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积不符合题意，故舍掉；
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，
设DE：y=k（x+1），
代入消去y得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
设 D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则，
所以，
所以，
同理，
所以四边形的面积
，
由或，
所以直线l_DE：或l_DE：或l_DE：
或l_DE：。