题目
题型:辽宁省模拟题难度:来源:
(1)求椭圆C的离心率及标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,则k与m之间应该满足怎样的关系?
(3)在(2)的条件下,且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A,求证:直线l必过定点,并求出定点的坐标。
答案
解:(1)∵2c=2,a-c=1,
∴c=1,a=2,
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆C的方程为。
(2)由方程组得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由题意:Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
整理得3+4k2-m2>0 ①;
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),
则
由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0),
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,
即
整理得7m2+16mk+4k2=0,
解得m=-2k或,均满足①
当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),舍去;
当时,直线l的方程为,过定点
故直线l过定点,且定点的坐标为。
核心考点
试题【已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,焦距为2,并且椭圆C上的点与焦点最短的距离是1。 (1)求椭圆C的离心率及标准方程; (2)若直线l:y=k】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l过点F2,且交y轴于D点,交抛物线E于A,B两点,
①若F1B⊥F2B,求|AF2|-|BF2|的值;
②试探究:线段AB与F2D的长度能否相等?如果|AB|=|F2D|,求直线l的方程。
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设过定点(0,2)的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,且∠EOF=90°(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的值;
(Ⅲ)设A(2,0),B(0,)是曲线C的两个顶点,直线y=mx(m>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
(2)若动直线l与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M,N,已知点,求的最小值。
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