题目

题型：模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围。

答案

解：（1）由题意知，
所以，即a²=2b²
又因为，
所以a²=2，b²=1
故椭圆C的方程为。
（2）由题意知直线AB的斜率存在
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0


∵
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），


∵点P在椭圆上，
∴
∴16k²=t²（1+2k²）
∵
∴
∴
∴
∴（4k²-1）（14k²+13）>0，
∴，
∴
∵16k²=t²（1+2k²），
∴
∴或
∴实数t取值范围为（-2，-）∪（，2）。