题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
答案
|
|
所以椭圆C的方程:
x2 |
4 |
(2)由题意可设直线l的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0),
联立
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则△=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
此时设M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=-
8km |
1+4k2 |
4(m2-1) |
1+4k2 |
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,
∴
y1 |
x1 |
y2 |
x2 |
k2x1x2+km(x1+x2)+m2 |
x1x2 |
8k2m2 |
1+4k2 |
由m≠0得:k2=
1 |
4 |
1 |
2 |
又由△>0 得:0<m2<2,显然m2≠1(否则:x1x2=0,则x1,x2中至少有一个为0,直线OM、ON中至少有一个斜率不存在,矛盾!)
设原点O到直线l的距离为d,则
S△OMN=
1 |
2 |
1 |
2 |
|m| | ||
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1+k2 |
1 |
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
-(m2-1)2+1 |
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
核心考点
试题【已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,焦距为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
3 |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,
PA |
PB |
PO |
(3)在(2)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点A的直线l与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点与l平行的直线与椭圆交于点P,求证:
|AQ|•|AR| |
|OP|2 |
π |
4 |
2 |