题目

题型：成都模拟难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且

OA

•

OB

＞0（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

答案

（I）设椭圆C的半焦距为c，
由题意得

2a=4 a2 c =4

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，解得k2＞

1

4

，①
且有x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，
∴

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

-12k2+16

4k2+3

＞0，
解得k2＜

3

4

，②
由①②得，

1

4

＜k2＜

4

3

，
解得-

2 3

3

＜k＜-

1

2

，或

1

2

＜k＜

2 3

3

，
∴斜率k的取值范围是(-

2 3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2 3

3

)．