已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且离心率为22．（I）求椭圆的标准方程；（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若AP= - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：门头沟区一模难度：来源：

已知椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且离心率为

．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若

，求△AOB的面积．

答案

（I）设椭圆方程为

=1(a＞b＞0)，
因为椭圆与双曲线有相同焦点，
所以c=

，再由e=

可得a=2，∴b²=a²-c²=2，
故所求方程为

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

，得

-x1=2x2

1-y1=2(y2-1)

，
设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得x=

-2k±

8k2+2

2k2+1

，
若x1=

-2k-

8k2+2

2k2+1

，x2=

-2k+

8k2+2

2k2+1

，
则-

-2k-

8k2+2

2k2+1

=2•

-2k+

8k2+2

2k2+1

，
解得k2=

，
又△AOB的面积S=S_△OAP+S_△OBP=

|OP|•|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

•

8k2+2

2k2+1

126

，
故所求△AOB的面积是

126

．

核心考点

试题【已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且离心率为22．（I）求椭圆的标准方程；（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若AP=】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆G：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，F₁，F₂为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF₁F₂的周长为4+4

．
（Ⅰ）求椭圆G的方程
（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若

⊥

（O为坐标原点），求证：直线l与圆x2+y2=

相切．

题型：顺义区二模难度：| 查看答案

已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=

．
（I）若点F在直线l：x-y+1=0上，求椭圆E的方程；
（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得

•

=1？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．

题型：宁德模拟难度：| 查看答案

已知椭圆Γ：

=1（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为

，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

题型：宁德模拟难度：| 查看答案

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），且椭圆C的离心率e=

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A₁，A₂，Q是椭圆C上异于A₁，A₂的任一点，直线QA₁，QA₂分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=

相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

题型：东莞一模难度：| 查看答案

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点A（2，3）在椭圆C₁上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B、C两点，抛物线C₂在点B，C处的切线分别为l₁，l₂，且l₁与l₂交于点P．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．

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