题目
题型:不详难度:来源:
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上,且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.
答案
解析
试题分析:⑴由题可知,圆心到定点的距离与到定直线的距离相等
由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线
所以动圆圆心的轨迹的方程为.
⑵解法1、
设,则中点为,因为两点关于直线对称,所以,即,解之得8分
将其代入抛物线方程,得:,所以.
联立,消去,得:
由,得,
注意到,即,所以,即,
因此,椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.
解法2、
设 ,因为两点关于直线对称,则,
即,解之得
即,根据对称性,不妨设点在第四象限,且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为
联立,消去,得:
由,得,
注意到,即,所以,即,
因此,椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为.
点评:本题主要考查了圆的切线的性质,圆的标准方程的求法,以及解析几何中的对称性问
题,属于常规题.
核心考点
试题【在平面直角坐标系内,动圆过定点,且与定直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上,且直】;主要考察你对圆的方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,,求的值;
(2)若∥,求证:线段,,成等比数列.
A.7或1 | B.或1 | C.或-1 | D.7或-1 |
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)若点在圆上,线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点的横坐标;
(Ⅱ)现有如下真命题:
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”;
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”.
据此,写出一般结论,并加以证明.
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