题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若点在圆上,线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点的横坐标;
(Ⅱ)现有如下真命题:
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”;
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”.
据此,写出一般结论,并加以证明.
答案
(2)一般结论为: “过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直.”
解析
试题分析:解法一:
(Ⅰ)设点,则, (1) 1分
设线段的垂直平分线与相交于点,则, 2分
椭圆的右焦点, 3分
,, ,
, (2) 4分
由(1),(2),解得 ,点的横坐标为. 5分
(Ⅱ)一般结论为:
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直.” 6分
证明如下:
(ⅰ)当过点与椭圆相切的一条切线的斜率
不存在时,此时切线方程为,
点在圆上 ,,
直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线
两切线互相垂直. 7分
(ⅱ)当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时,
可设切线方程为,
由得 ,
整理得, 8分
直线与椭圆相切,
,
整理得, 9分
, 10分
点在圆上,, ,,两切线互相垂直,
综上所述,命题成立. 13分
解法二:
(Ⅰ)设点,则, (1) 1分
椭圆的右焦点, 2分
点在线段的垂直平分线上, ,
, , (2) 4分
由(1),(2),解得, 点的横坐标为. 5分
点评:主要是考查了椭圆的性质,以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。
核心考点
试题【已知圆,椭圆.(Ⅰ)若点在圆上,线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点的横坐标;(Ⅱ)现有如下真命题:“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”;】;主要考察你对圆的方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求的值;
(2)求圆M在轴上截得的弦长;
(3)若点是直线上的动点,过点作直线与圆M相切,
为切点。求四边形面积的最小值。
A. | B. |
C. | D. |
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