题目
题型:江苏模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆C和直线l的方程;
(Ⅱ)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D,若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与区域D有公共点,试求实数m的最小值。
答案
解:(Ⅰ)由离心率e=,得,
即,①
又点B(-1,-3)在椭圆C:上,即,②
解①②得,
故所求椭圆方程为,
由A(2,0),B(-1,-3)得直线l的方程为y=x-2。
(Ⅱ)曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0,
即圆(x-m)2+(y+2)2=8,其圆心坐标为G(m,-2),半径r=2,表示圆心在直线y=-2上,半径为2的动圆,
要求实数m的最小值,由下图可知,只须考虑m<0的情形.
设圆G与直线l相切于点T,则由,得m=±4,
当m=-4时,过点G(-4,-2)与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0,
解方程组,得T(-2,-4),
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1,2,
所以切点TD,
由图可知当圆G过点B时,m取得最小值,
即(-1-m)2+(-3+2)2=8,解得mmin=--1。
核心考点
试题【已知椭圆C:的离心率为,过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且B(-1,-3),(Ⅰ)求椭圆C和直线l的方程;(Ⅱ)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB】;主要考察你对直线方程的几种形式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅱ)设x1=2,x2=,求点T的坐标;
(Ⅲ)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
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