题目
题型:不详难度:来源:
(I)求证:PA∥平面BDE;
(II)求证:PB⊥平面DEF;
(III)求二面角C-PB-D的大小.
答案
(I)证明
如图,连接AC,AC交BD于点G,连接EG.∵底面ABCD是正方形,∴G为AC的中点.
又E为PC的中点,∴EG∥PA.∵EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB …(4分)
(II)证明:∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DB,PD⊥DC,PD⊥DB.
又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.∴PC是PB在平面PDC内的射影.
∵PD⊥DC,PD=DC,点E是PC的中点,∴DE⊥PC.
由三垂线定理知,DE⊥PB.
∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD. …(8分)
(III)
∵PB⊥平面EFD,∴PB⊥FD.又∵EF⊥PB,FD∩EF=F,∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角.…(10分)
∵PD=DC=BC=2,∴PC=DB=2
2 |
1 |
2 |
2 |
∵PD⊥DB,
∴PB=
PD2+DB2 |
3 |
DF=
PD•DB |
PB |
2
| ||
3 |
由(II)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P,∴DE⊥平面PBC.
∵EF⊂平面PBC,∴DE⊥EF.
在Rt△DEF中,sin∠EFD=
DE |
DF |
| ||
2 |
∴∠EFD=60°.
故所求二面角C-PB-D的大小为60°. …(12分)
解法二:
如图,以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,得以下各点坐标:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),P(0,0,2)…(1分)
(I)证明:
连接AC,AC交BD于点G,连接EG.∵底面ABCD是正方形,∴G为AC的中点.G点坐标为(1,1,0).
又E为PC的中点,E点坐标为(0,1,1),
∴
PA |
EG |
∴
PA |
EG |
∴PA∥EG
∵EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,
∴PA∥平面EDB …(4分)
(II)证明:
PB |
DE |
∴
PB |
DE |
∴PB⊥DE
又∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
(III)∵PB⊥平面EFD,∴PB⊥FD.
又∵EF⊥PB,FD∩EF=F,∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角.…(10分)
设点F的坐标为(x,y,z),则
PF |
DF |
∵PF∥PB,DF⊥PB
∴
PF |
PB |
PB |
DF |
x=y=(-z-2)=2k,x+y-z=0
解得:k=
1 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
∴点F的坐标为(
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
FD |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
EF |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
∵cos∠EFD=
| ||||
|
|
1 |
2 |
∴∠EFD=60°.故所求二面角C-PB-D的大小为60°. …(12分)
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,点F在PB上,EF⊥PB.(I)求证:PA∥平面】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:A1B⊥AC;
(Ⅱ)当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时,求平面A1B1C1与平面ABC所成的锐角的余弦值.
6 |
(1)求证PA⊥平面ABCD;
(2)求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小.
(Ⅰ)D在AC上运动,当D在何处时,有AB1∥平面BDC1,并且说明理由;
(Ⅱ)当AB1∥平面BDC1时,求二面角C-BC1-D余弦值.
(Ⅰ)求证二面角E-PC-D为直二面角;
(Ⅱ)求点D到面PEC的距离.
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